Tipos de Limites

 Tipos de Limites.

Limite Finito: 

Límite finito de una función:

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x,0 < |x-a| < δ|f(x) – b| < ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε. 

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

 

Limite Infinito: 

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito). 

 

Limites Laterales.

Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.

El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único. 

Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L₁ y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos L₂.

Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L₁ = L₂.

Veamos esta función:

Queremos averiguar si existe el límite cuando x → 1.

Si sustituimos el valor de x por 1 llegamos a una indeterminación del tipo número partido por cero que requiere operaciones posteriores.

Vamos, pues, a hallar sus límites laterales, dando en primer lugar valores a x cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 (nos acercamos a 1 por la izquierda).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la izquierda, L₁ tiende a -∞.

Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 (nos acercamos a 1 por la derecha).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la derecha L₂ tiende a +∞.

Como se ve en la gráfica:

Como los dos límites laterales no son iguales, no existe el límite en la función cuando x → 1.

Limite por la izquierda.

Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos L₁ de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se escribe:

Para cualquier valor muy pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₁| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (en el ejemplo de la tabla, a^– = 2) y, al mismo tiempo, la función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L₁.

 

Limite por la derecha.

 Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos L₂ de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, b) y en un punto a, al valor que toma esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.

Se escribe:

Para cualquier valor tan pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < x – a < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₁| < ε.

Para cualquier valor tan pequeño como se quiera y positivo δ > 0 se corresponde otro también positivo ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₂| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a (en el ejemplo de la tabla a^– = 2) por la derecha y, al mismo tiempo, la función f(x) se aproxima por la derecha a L₂.

 

Función Cuadratica

 

Función cuadrática

Se llama función cuadrática a una función polinomial real de variable real, que tiene grado dos.

La función tiene la forma de: siendo a≠0.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Interseccion con el eje x:

Depende del discrimininate  

{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}

• Si (Δ>0), la ecuación tiene dos soluciones distintas.

• Si (Δ=0), la ecuación tiene una única solución (también, podemos decir que tiene dos soluciones iguales).

• Si (Δ<0), la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas o imaginarias).

• Para obtener las soluciones ocupamos la siguiente fórmula

Ejemplo: 

Caso 1 (Δ=0): corta en un punto al eje x, solo tiene una solución.

Caso 2 (Δ<0): No corta al eje x, no tiene soluciones reales.

 

Caso 3 (Δ>0): Corta en dos puntos al eje x, tiene dos soluciones.

Para obtener las dos soluciones se tiene que ocupar la siguiente formula 

Intersección con el eje y

Esta dada por el coeficiente libre donde mi parábola corta al eje y

La grafica interseca al eje y en el punto (0, C)

Ejemplo: 3 x ² + 2 x + 1

C=4 corta en el punto (0,4)

Concavidad

Esta dada por el valor a

Si a>0, la función será convexa + ∪

Si a<0, la función será cóncava - ∩

Ejemplo:

 convexa o cóncava positiva

 cóncava negativa

Vértice

Esta dado por el punto de coordenadas 

El eje de simetría se encuentra en la recta 

El vértice define el máximo o mínimo de la función

Factorización (forma canónica)

   Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

Ejemplo: PPT: Power Point De La Explicación.

Ejercicios Resueltos:

       Ejemplo 1: Número 1 .

       Ejemplo 2: Número 2 . 

Logaritmos y su Función

 Logaritmos:

-Un Logaritmo indica el exponente al que hay que elevar un número base para obtener el número original.

-Los Logaritmos se expresan de la siguiente manera: logb x = y→ by = x

donde b es la base del logaritmo.  

-Ejemplos de Logaritmos:

*log10 100 = 2 ya que 102 es igual a 100.

*log10 10 = 1 ya que 101 es igual a 10.

*log10 1000 = 3 ya que 103 es igual a 1000.

*log2 64 = 6 ya que 26 es igual a 64.

Propiedades de los Logaritmos.

 Función Logarítmica.

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Propiedades.

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

1. Función logarítmica del producto:
   
   
   
   
   
2. Función logarítmica de la división:
   
   
   
   
   
3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:
   
   
   
   
   
4. Función logarítmica de la potencia:
   
   
   
   
   
5. Función logarítmica de la raíz:
   
   
   
   
   
6. Cambio de base: